Один шаг вниз по склону

Вы узнаете

Как один шаг SGD сдвигает вес против градиента и почему тест с двумя равными входами не может их различить.

Попробуйте

Найдите в записи изменённую строку и упавший тест; затем найдите в спеке step и решите, какой из его входов нужно изменить, чтобы он поймал ошибку.

specs/ternary/gft_sgd_step.t27

module GftSgdStep;
// #1764 + GF-T: a GF-T SGD weight update -- w' = w - eta * g, the final brick of an
// on-device training step (forward softmax -> loss -> gradient g -> THIS update).
// eta is the (positive) learning rate; g the gradient (signed); w the weight (signed).
// Composes the verified primitives: signed multiply (smul over the RNE magnitude
// mul) + subtract (sadd + neg). Bit-exact to the integer oracle; accuracy is to
// GF-T16 precision (<=1 ULP; ~0.03 abs at the largest magnitudes).
//
// Inputs: w, g, eta signed GF-T16 (u32). Output: updated weight w' GF-T16 (u32).

fn magadd(a: i32, b: i32) -> i32 {
    var ao : i32 = a >> 9; var am : i32 = a & 511;
    var bo : i32 = b >> 9; var bm : i32 = b & 511;
    var ho : i32 = bo; var hm : i32 = bm; var lo : i32 = ao; var lm : i32 = am;
    if (ao >= bo) { ho = ao; hm = am; lo = bo; lm = bm; }
    var hs : i32 = 512 + hm; var ls : i32 = 512 + lm;
    var d : i32 = ho - lo; if (d > 11) { d = 11; }
    var losh : i32 = ls >> d; var rem : i32 = ls - (losh << d);
    var s : i32 = hs + losh; var off : i32 = ho; var mant : i32 = s - 512;
    if (s >= 1024) {
        var g : i32 = s & 1; var pre : i32 = s >> 1; mant = pre - 512;
        if (g == 1) { if (rem > 0) { mant = mant + 1; } else { if ((pre & 1) == 1) { mant = mant + 1; } } }
        off = ho + 1; if (off >= 80) { off = 80; }
    } else {
        var t : i32 = rem << 1; var hf : i32 = 1 << d;
        if (t > hf) { mant = mant + 1; } else { if (t == hf) { if ((s & 1) == 1) { mant = mant + 1; } } }
    }
    if (mant >= 512) { mant = 0; off = off + 1; if (off >= 80) { off = 80; } }
    return (off << 9) | mant;
}

fn magsub(hi: i32, lo: i32) -> i32 {
    if (hi == lo) { return 0; }
    var ho : i32 = hi >> 9; var hm : i32 = hi & 511;
    var lo_o : i32 = lo >> 9; var lm : i32 = lo & 511;
    var d : i32 = ho - lo_o; var hs : i32 = (512 + hm) << 14;
    var la : i32 = 0; var sticky : i32 = 0;
    if (d >= 26) { la = 0; sticky = 1; }
    else { var ls : i32 = (512 + lm) << 14; la = ls >> d; if ((ls - (la << d)) > 0) { sticky = 1; } }
    var diff : i32 = hs - la; var off : i32 = ho;
    var cap : i32 = 12; if (off - 1 < cap) { cap = off - 1; } if (cap < 0) { cap = 0; }
    var sh : i32 = 0;
    if (diff != 0) {
        var t : i32 = diff;
        if (t < 65536) { if (sh + 8 <= cap) { t = t << 8; sh = sh + 8; } }
        if (t < 1048576) { if (sh + 4 <= cap) { t = t << 4; sh = sh + 4; } }
        if (t < 4194304) { if (sh + 2 <= cap) { t = t << 2; sh = sh + 2; } }
        if (t < 8388608) { if (sh + 1 <= cap) { t = t << 1; sh = sh + 1; } }
    }
    diff = diff << sh; off = off - sh;
    var q : i32 = diff >> 14; var rem : i32 = diff - (q << 14); var half : i32 = 8192; var mant : i32 = q - 512;
    if (rem > half) { mant = mant + 1; }
    else { if (rem == half) { if (sticky == 1) { mant = mant + 1; } else { if ((q & 1) == 1) { mant = mant + 1; } } } }
    if (mant >= 512) { mant = 0; off = off + 1; if (off >= 80) { off = 80; } }
    return (off << 9) | mant;
}

fn sadd(a: u32, b: u32) -> u32 {
    if (a == 0) { return b; }
    if (b == 0) { return a; }
    var sa : i32 = (a >> 16) as i32; var ma : i32 = (a & 65535) as i32;
    var sb : i32 = (b >> 16) as i32; var mb : i32 = (b & 65535) as i32;
    if (sa == sb) { return ((sa << 16) | magadd(ma, mb)) as u32; }
    var bsign : i32 = sa;
    var r : i32 = magsub(ma, mb);
    if (ma < mb) { r = magsub(mb, ma); bsign = sb; }
    if (r == 0) { return 0; }
    return ((bsign << 16) | r) as u32;
}

fn neg(v: u32) -> u32 {
    if (v == 0) { return 0; }
    return v ^ 65536;
}

fn magmul(a16: i32, b16: i32) -> i32 {
    var ao : i32 = a16 >> 9; var am : i32 = a16 & 511;
    var bo : i32 = b16 >> 9; var bm : i32 = b16 & 511;
    var prod : i32 = (512 + am) * (512 + bm);
    var carry : i32 = 0; if (prod >= 524288) { carry = 1; }
    var q : i32 = prod >> 9; var r : i32 = prod & 511; var half : i32 = 256;
    if (carry == 1) { q = prod >> 10; r = prod & 1023; half = 512; }
    var mant : i32 = q - 512;
    if (r > half) { mant = mant + 1; }
    if (r == half) { if ((q & 1) == 1) { mant = mant + 1; } }
    var sm : i32 = ao + bo + carry;
    var out_off : i32 = 0;
    if (sm >= 40) { var res : i32 = sm - 40; if (res >= 80) { out_off = 80; } else { out_off = res; } }
    if (mant >= 512) { mant = 0; out_off = out_off + 1; if (out_off >= 80) { out_off = 80; } }
    return (out_off << 9) | mant;
}

// softmax: p_sel = 2^(l_sel - M) / sum_i 2^(l_i - M), M = max logit.

// signed GF-T multiply: sign = xor of signs, magnitude = RNE magnitude mul.
fn smul(a: u32, b: u32) -> u32 {
    if (a == 0) { return 0; }
    if (b == 0) { return 0; }
    var sgn : i32 = ((a >> 16) & 1) as i32;
    var sb : i32 = ((b >> 16) & 1) as i32;
    if (sgn != sb) { sgn = 1; } else { sgn = 0; }
    var mag : i32 = magmul((a & 65535) as i32, (b & 65535) as i32);
    if (mag == 0) { return 0; }
    return ((sgn << 16) | mag) as u32;
}

// w' = w - eta*g.
fn on_comb(w: u32, g: u32, eta: u32) -> u32 {
    var delta : u32 = smul(eta, g);
    return sadd(w, neg(delta));
}

// w=+1.0, g=+0.5, eta=0.5 -> 1 - 0.25 = 0.75 (offset39,mant256 = 0x4f00 = 20224).
test step { assert_eq(on_comb(20480, 19968, 19968), 20224); }
// g=0 -> weight unchanged.
test nograd { assert_eq(on_comb(20480, 0, 19968), 20480); }
// w=+1.0, g=-1.0, eta=1.0 -> 1 - (1*-1) = 2.0 (offset41 = 0x5200 = 20992).
test ascend { assert_eq(on_comb(20480, 86016, 20480), 20992); }
endmodule

Открыть спеку урока в плеере ↗

Все уроки

• Модуль 1 · Лаборатория: наши исследования

  Свой формат чисел, честная таблица результатов и таблицы модели, перемноженные на плате.

  1. 01 T27: наш собственный формат чисел
  2. 02 Честная таблица результатов
  3. 03 Таблицы модели на плате

• Модуль 2 · ИИ-числа: блок MX

  Как ИИ-чипы хранят веса в нескольких битах: один общий масштаб на блок, сам байт масштаба и что один выброс делает с соседями.

  1. 04 Один масштаб на блок весов
  2. 05 Байт масштаба на настоящей машине
  3. 06 Один выброс, много нулей

• Модуль 3 · Тернарные веса

  Веса, которые бывают только минус масштаб, ноль или плюс масштаб, пять правил, которые должен пройти тернарный алфавит, и прогон тестов, который ничего не проверил.

  1. 07 Веса минус фи, ноль и плюс фи
  2. 08 Прогон, который ничего не проверил
  3. 09 Пять правил для алфавита весов

• Модуль 4 · Тернарный формат Ternary Network Float

  Правило, которое компилятор проверяет до запуска любого теста, и 17-битное число с плавающей точкой, порядок которого — четыре сбалансированных трита.

  1. 10 Заблокирован — не значит провален
  2. 11 Число, у которого порядок — четыре трита
  3. 12 Дважды сменить знак — получить число обратно

• Модуль 5 · Арифметика чисел со знаком

  Умножить два числа со знаком, сложить их, когда знаки разные, и сделать то и другое сразу в умножении с накоплением.

  1. 13 Знак — это один бит
  2. 14 Разные знаки — вычитание
  3. 15 Умножить, потом сложить

• Модуль 6 · Части нейрона

  ReLU с изломом в нуле, степень двойки для softmax и argmax, который называет ответ.

  1. 16 Излом в нуле
  2. 17 Два в степени x
  3. 18 Выбрать наибольшее

• Модуль 7 · Обучение на ошибке

  Потеря, которая оценивает неверную догадку в битах, один шаг, который сдвигает вес против градиента, и скрытый слой, который нужен XOR.

  1. 19 Потеря в битах
  2. 20 Один шаг вниз по склону
  3. 21 XOR нужен излом

• Модуль 8 · BitNet: тернарные сети

  Порог, который сжимает сумму обратно до трёх значений, один нейрон, который становится другой функцией при смене весов, и нейрон, который читает входы по 27 тритов за раз.

  1. 22 Обратно в три значения
  2. 23 Тот же нейрон, другие веса
  3. 24 Нейрон по кускам

• Модуль 9 · Тернарный MAC как чип

  Скалярное произведение 27 тритов как провода без регистра, та же сумма, которую регистр копит на каждом такте, и небольшая целая сеть в конце курса.

  1. 25 Скалярное произведение из проводов
  2. 26 Складывать на каждом такте
  3. 27 Целая сеть